题目内容
如图是一个面积为1的三角形,现进行如下操作。第一次操作:分别连接这个三角形三边的中点,构成4个三角形,挖去中间一个三角形(如图①中阴影部分所示),并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”;第二次操作:连结剩余的三个三角形三边的中点,再挖去各自中间的三角形(如图②中阴影部分所示),同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”;第三次操作:连接剩余的各三角形三边的中点,再挖去各自中间的三角形,同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”;……,如此下去,记第次操作后剩余图形的总面积为
(1)求;(2)求第次操作后,挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和;
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(Ⅰ) (Ⅱ)
(1);……6分
(2)设第n次操作挖去个三角形,则是以1为首项,3为公比的等比数列,即,所以所有三角形上所贴标签上的数字的和
则,两式相减,得:
,故……12分
(2)设第n次操作挖去个三角形,则是以1为首项,3为公比的等比数列,即,所以所有三角形上所贴标签上的数字的和
则,两式相减,得:
,故……12分
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