题目内容
【题目】设函数
(Ⅰ)当(
为自然对数的底数)时,求
的极小值;
(Ⅱ)若函数存在唯一零点,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)的极小值为2;(Ⅱ)当
或
时,函数
有且只有一个零点.
【解析】试题分析:(1)先求导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,进而确定极值(2)先化简,再利用参变分离法得
,利用导数研究函数
,由图像可得存在唯一零点时
的取值范围
试题解析:(1)由题设,当时,
,
则,由
,得
.
∴当,
,
在
上单调递减,
当,
,
在
上单调递增,
∴当时,
取得极小值
,
∴的极小值为2.
(2)由题设,
令,得
.
设,则
,
当时,
,
在
上单调递增;
当时,
,
在
上单调递减.
∴是
的唯一极值点,且是极大值点,因此
也是
的最大值点.
∴的最大值为
.
又,结合
的图象(如图),可知
当时,函数
有且只有一个零点;
当时,函数
有且只有一个零点.
所以,当或
时,函数
有且只有一个零点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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