题目内容
【题目】已知函数,其中
为自然对数的底数.
(1)若函数在区间
上是单调函数,试求实数
的取值范围;
(2)已知函数,且
,若函数
在区间
上恰有3个零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)根据题意,由函数的解析式计算可得,由函数的导数与函数单调性的关系,分函数
在区间
上是为单调增函数和单调减函数两种情况讨论,分别求出
的取值范围,综合即可得答案;(2)根据题意,对
求导分析可得
,由
,知
在区间
内恰有一个零点,设该零点为
,则
在区间
内不单调,
在区间
内存在零点
,同理,
在区间
内存在零点
,由(1)的结论,只需
在区间
内两个零点即可,利用导数研究函数的单调性,从而可得实数
的取值范围.
试题解析:(1)由题意得,当函数
在区间
上单调递增时,
在区间
上恒成立.
∴(其中
),解得
;
当函数在区间
上单调递减时,
在区间
上恒成立,
∴(其中
),解得
.
综上所述,实数的取值范围是
.
(2).
由,知
在区间
内恰有一个零点,
设该零点为,则
在区间
内不单调.
∴在区间
内存在零点
,同理,
在区间
内存在零点
.
∴在区间
内恰有两个零点.
由(1)知,当时,
在区间
上单调递增,故
在区间
内至多有一个零点,不合题意.当
时,
在区间
上单调递减,故
在区间
内至多有一个零点,不合题意,
∴.令
,得
,
∴函数在区间
上单调递减,在区间
内单调递增.
记的两个零点为
,
,
∴,
,必有
,
.
由,得
.
∴,
又∵,
,
∴.
综上所述,实数的取值范围为
.
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