题目内容
【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,左顶点为
,左焦点为
,点
在椭圆
上,直线
与椭圆
交于
,
两点,直线
,
分别与
轴交于点
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)以为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)经过两定点
,
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)椭圆的左焦点为,所以
.由点
在椭圆
上,得
,进而解出
得到椭圆
的方程;(Ⅱ)直线
与椭圆
联立,解得
的坐标(用
表示),设出
,
的方程,解出
的坐标,圆方程用
表示,最后可求得
为直径的圆经过两定点.
试题解析:(Ⅰ) 设椭圆的方程为
,
因为椭圆的左焦点为,所以
.
因为点在椭圆
上,所以
.
由①②解得, ,
.
所以椭圆的方程为
.
(Ⅱ)因为椭圆的左顶点为
,则点
的坐标为
.
因为直线与椭圆
交于两点
,
,
设点(不妨设
),则点
.
联立方程组消去
得
.
所以,则
.
所以直线的方程为
.
因为直线,
分别与
轴交于点
,
,
令得
,即点
.
同理可得点.
所以.
设的中点为
,则点
的坐标为
.
则以为直径的圆的方程为
,
即.
令,得
,即
或
.
故以为直径的圆经过两定点
,
.
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