题目内容
【题目】已知向量 =(m,cos2x),
=(sin2x,n),设函数f(x)=
,且y=f(x)的图象过点(
,
)和点(
,﹣2). (Ⅰ)求m,n的值;
(Ⅱ)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调增区间.
【答案】解:(Ⅰ)已知: ,
, 则:
=msin2x+ncos2x,
y=f(x)的图象过点y=f(x)的图象过点( ,
)和点(
,﹣2).
则: 解得:
,
即:m= ,n=1
(Ⅱ)由(Ⅰ)得: =
,f(x)向左平移φ个单位得到:
g(x)=2sin(2x+2Φ+ ),
设g(x)的对称轴x=x0 , 最高点的坐标为:(x0 , 2)点(0,3)的距离的最小值为1,则: ,
则:g(0)=2,
解得:Φ= ,
所以:g(x)=2sin(2x+ )=2cos2x.
令:﹣π+2kπ≤2x≤2kπ (k∈Z)
则:单调递增区间为:[ ](k∈Z)
故答案为:(Ⅰ)m= ,n=1
(Ⅱ)单调递增区间为:[ ](k∈Z)
【解析】(Ⅰ)首先根据向量的数量积的坐标运算求得f(x)=msin2x+ncos2x,进一步根据图象经过的点求得:m和n的值.(Ⅱ)由(Ⅰ)得: =
,f(x)向左平移φ个单位得到g(x)=2sin(2x+2Φ+
)设g(x)的对称轴x=x0 , 最高点的坐标为:(x0 , 2)点(0,3)的距离的最小值为1,则:g(x)=2sin(2x+
)=2cos2x,进一步求得单调区间.
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