题目内容
【题目】如图所示,在中,
的中点为
,且
,点
在
的延长线上,且
.固定边
,在平面内移动顶点
,使得圆
与边
,边
的延长线相切,并始终与
的延长线相切于点
,记顶点
的轨迹为曲线
.以
所在直线为
轴,
为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设动直线交曲线
于
两点,且以
为直径的圆经过点
,求
面积的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】【试题分析】(1)依据题设条件运用椭圆的定义进行分析探求;(2)借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系进行分析求解:
(Ⅰ)依题意得,设动圆
与边
的延长线相切于
,与边
相切于
, 则
所以
所以点
轨迹
是以
为焦点,长轴长为4的椭圆,且挖去长轴的两个顶点.则曲线
的方程为
.
由于曲线要挖去长轴两个顶点,所以直线
斜率存在且不为
,所以可设直线
由得
,
,同理可得:
,
;
所以,
又,所以
令
,
则且
,所以
又
,所以
,
所以,
所以,所以
,
所以面积的取值范围为
.
【法二】
依题意得直线斜率不为0,且直线
不过椭圆的顶点,则可设直线
:
,且
。
设,又以
为直径的圆经过点
,则
,所以
由得
,则
且,所以
又
代入①得:
,所以
,
代入②得: 恒成立所以
且
.
又;
点到直线
的距离为
,
所以
(Ⅰ)当时,
;
(Ⅱ)当且
时,
,
又,当且仅当
时取“
”,所以
,
所以,所以
,
所以,所以
;
综合(1),(2)知.
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