Question

17．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点F₁、F₂，点P在椭圆上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|=$\frac{4}{3}$，|PF₂|=$\frac{14}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交椭圆于A、B两点，且AB中点为M（-2，1），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）利用椭圆的定义、勾股定理及其a²=b²+c²即可得出；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\frac{{x}_{1}^{2}}{9}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{9}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}=1$，两式相减再利用中点坐标公式、斜率计算公式，即可得出．

解答 解：（I）∵PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|=$\frac{4}{3}$，|PF₂|=$\frac{14}{3}$，
∴2c=$\sqrt{（\frac{14}{3}）^{2}-（\frac{4}{3}）^{2}}$，2a=$\frac{4}{3}+\frac{14}{3}$，联立解得a=3，c=$\sqrt{5}$，
∴b²=a²-c²=4．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\frac{{x}_{1}^{2}}{9}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{9}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}=1$，两式相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{9}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0，
∵$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-2，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k_l，∴$\frac{-4}{9}+2×\frac{{k}_{l}}{4}$=0，解得k_l=$\frac{8}{9}$．
∴直线l的方程为$y-1=\frac{8}{9}（x+2）$，化为8x-9y+25=0．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．