Question

1．设P是椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}$=1上一动点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，则cosF₁PF₂的最小值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{9}$
• C． -$\frac{1}{9}$
• D． -$\frac{5}{9}$

Answer 1

分析 利用椭圆的定义，余弦定理，结合基本不等式，即可求cos∠F₁PF₂的最小值．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}$=1的a=3，b=2，
c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由椭圆定义，可得
|PF₁|+|PF₂|=6，|F₁F₂|=2$\sqrt{5}$，
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$=$\frac{{6}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}-2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$=$\frac{16}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$-1，
∵|PF₁|+|PF₂|=6≥2$\sqrt{|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$，
∴|PF₁|•|PF₂|≤9，
∴$\frac{16}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$-1≥$\frac{8}{9}$-1=-$\frac{1}{9}$．当且仅当|PF₁|=|PF₂|=3，取得最小值-$\frac{1}{9}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的定义，余弦定理，考查基本不等式，考查运算能力，属于中档题．