题目内容
【题目】已知椭圆:
(
)的一个焦点
与抛物线
:
的焦点重合,且离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过焦点的直线
与抛物线
交于
,
两点,与椭圆
交于
,
两点,满足
,求直线
的方程.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)根据题意求出,即可写出椭圆的标准方程.
(2)当直线不存在斜率时,可求出
四点,可验证
;当直线
存在斜率时,设直线方程为
,将直线分别与椭圆
方程、抛物线方程联立,利用弦长公式和焦点弦公式求出
、
,根据
解方程即可.
解:(1)由已知椭圆的离心率,
,得
,则
,
故椭圆的标准方程为
(2)当直线不存在斜率时,可求出
,
,
,
,
所以,
,不满足条件;
当直线存在斜率时,设直线方程为
,代入椭圆
方程得:
,
恒成立,
设,
,则
∴
将直线:
,代入抛物线
得
,
设,
,则
,
又因为,
由得:
,∴
,
解得,
所以直线的方程为
.
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