Question

【题目】设函数f（x）= x2+ax﹣lnx（a∈R）
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
求实数m的取值范围．
（2）当a≥2时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对任意a∈（2，3）及任意x1 ， x2∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，

Answer 1

【答案】
（1）解：函数的定义域为（0，+∞），

a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣ = ，

令f′（x）=0，得x=1，

∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，

∴f（x）极小值=f（1）=1，无极大值；

（2）解：f′x）=（1﹣a）x+a﹣ = ，

当 =1，即a=2时，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上递减；

当 ＜1，即a＞2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜ ，或x＞1，令f′（x）＞0，得 ＜x＜1，

当 ＞1，即a＜2时，矛盾舍，

综上，a=2时，f（x）在（0，+∞）递减，a＞2时，f（x）在（0， ）和（1，+∞）递减，在（ ，1）递增；

（3）解：由（2）得；a∈（2，3）时，f（x）在[1，2]上递减，

x=1时，f（x）最大，x=2时，f（x）最小，

∴|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（2）= ﹣ +ln2，

∴ma+ln2＞ ﹣ +ln2．

a＞0时，经整理得m＞ ﹣ ，

由2＜a＜3得；﹣ ＜ ﹣ ＜0，

∴m≥0

【解析】（1）将a=1代入函数求出导函数得到单调区间，从而求出极值，（2）先求出导函数，再分别讨论a＞2，a=2，a＜2时的情况，综合得出单调区间；（3）由（2）得；a∈（2，3）时，f（x）在[2，3]上递减，x=1时，f（x）最大，x=2时，f（x）最小，从而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（2）= ﹣ +ln2，进而证出ma+ln2＞ ﹣ +ln2．经整理得m＞ ﹣ ，由2＜a＜3得；﹣ ＜ ﹣ ＜0，从而m≥0．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．