Question

【题目】已知椭圆C： 的左右焦点分别为F1 ， F2 ， 点P为椭圆C上的任意一点，若以F1 ， F2 ， P三点为顶点的三角形一定不可能为等腰钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（0， ]
【解析】解：∵点P为椭圆C上的任意一点，以F1 ， F2 ， P三点为顶点的等腰三角形
一定不可能为钝角三角形，分两种情况：
1）若∠F1PF2为顶角，则∠F1PF2≤90°，
∴tan∠OPF2≤1，
∴ ≤1，∴c≤b，
∴c2≤a2﹣c2 ， 即2c2≤a2 ，
∴e≤ ．
2）若∠PF1F2为顶角，则∠PF1F2≤90°，
此时|PF1|=|F1F2|=2c，
用极限方法，当P接近左端点的时候，
只要F1 ， F2 ， P不能组成钝角等腰三角形，即可满足题意：
因此a﹣c≥2c；
所以e= ≤ ；
所以答案是：（0， ]．