Question

【题目】已知f（x）=ax3+3x2﹣x+1，a∈R．
（1）当a=﹣3时，求证：f（x）=在R上是减函数；
（2）如果对x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：当a=﹣3时，f（x）=﹣3x3+3x2﹣x+1，

∵f′（x）=﹣9x2+6x﹣1=﹣（3x﹣1）2≤0，

∴f（x）在R上是减函数；

（2）解：∵x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，

即x∈R不等式3ax2+6x﹣1≤4x恒成立，

∴x∈R不等式3ax2+2x﹣1≤0恒成立，

当a≥0时，x∈R，3ax2+2x﹣1≤0不恒成立，

当a＜0时，x∈R不等式3ax2+2x﹣1≤0恒成立，

即△=4+12a≤0，

∴a≤﹣

【解析】（1）把a=﹣3代入函数解析式中确定出f（x）的解析式，求出f（x）的导函数，配方可知导函数恒小于等于0，进而得到f（x）在R上为减函数；（2）求出f（x）的导函数，把求出的导函数代入到已知的不等式中，移项使不等式的右边为0，左边为一个二次函数，讨论a≥0时，不等式显然不恒成立；a＜0时，不等式要恒成立，根的判别式△≤0列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．