题目内容
【题目】已知函数在点
处的切线与直线
垂直.
(1)求函数的极值;
(2)若在
上恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)极大值为,函数
无极小值;(2)
【解析】分析:(1)由函数在点
处的切线与直线
垂直,利用导数的几何意义求得
,利用导数研究函数的单调性,从而可得函数的极值;(2)
在
上恒成立,等价于
在
上恒成立,令
,利用导数可得当
时,
在
上是增函数,
,故当
时,
,再证明当
时不合题意即可.
详解:(1)函数的定义域为
,
,
所以函数在点
处的切线的斜率
.
∵该切线与直线垂直,所以
,解得
.
∴,
,
令,解得
.
显然当时,
,函数
单调递增;当
时,
,函数
单调递减.
∴函数的极大值为
,函数
无极小值.
(2)在
上恒成立,等价于
在
上恒成立,
令,则
,
令,则
在
上为增函数,即
,
①当时,
,即
,则
在
上是增函数,
∴,故当
时,
在
上恒成立.
②当时,令
,得
,
当时,
,则
在
上单调递减,
,
因此当时,
在
上不恒成立,
综上,实数的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
【题目】某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下:
售出水量 | 7 | 6 | 6 | 5 | 6 |
收入 | 165 | 142 | 148 | 125 | 150 |
学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:特困生综合考核前20名,获一等奖学金500元;综合考核21-50名,获二等奖学金300元;综合考核50名以后的不获得奖学金.
(1)若与
成线性相关,则某天售出9箱水时,预计收入为多少元?
(2)甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为,获二等奖学金的概率均为
,不获得奖学金的概率均为
,已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立,求甲乙两名学生所获得奖学金之和
的分布列及数学期望;
附:回归方程,其中
.