Question

【题目】设f（x）=ln（x+1）+ +ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y= x在（0，0）点相切．
（1）求a，b的值；
（2）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由y=f（x）过（0，0），∴f（0）=0，∴b=﹣1

∵曲线y=f（x）与直线y= x在（0，0）点相切．

∴y′|x=0=

∴a=0；

（2）

证明：由（1）知f（x）=ln（x+1）+ -1

由均值不等式，当x＞0时， ，∴ ①

令k（x）=ln（x+1）﹣x，则k（0）=0，k′（x）= ，∴k（x）＜0

∴ln（x+1）＜x，②

由①②得，当x＞0时，f（x）＜ x

记h（x）=（x+6）f（x）﹣9x，则当0＜x＜2时，h′（x）=f（x）+（x+6）f′（x）﹣9

＜ ＜

=

∴h（x）在（0，2）内单调递减，又h（0）=0，∴h（x）＜0

∴当0＜x＜2时，f（x）＜

【解析】（1）由y=f（x）过（0，0），可求b的值，根据曲线y=f（x）与直线y= x在（0，0）点相切，利用导函数，可求a的值；（2）由（1）知f（x）=ln（x+1）+ -1，由均值不等式，可得 ，构造函数k（x）=ln（x+1）﹣x，可得ln（x+1）＜x，从而当x＞0时，f（x）＜ x，记h（x）=（x+6）f（x）﹣9x，可证h（x）在（0，2）内单调递减，从而h（x）＜0，故问题得证
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)．