题目内容

【题目】设f(x)=ln(x+1)+ +ax+b(a,b∈R,a,b为常数),曲线y=f(x)与直线y= x在(0,0)点相切.
(1)求a,b的值;
(2)证明:当0<x<2时,f(x)<

【答案】
(1)

解:由y=f(x)过(0,0),∴f(0)=0,∴b=﹣1

∵曲线y=f(x)与直线y= x在(0,0)点相切.

∴y′|x=0=

∴a=0;


(2)

证明:由(1)知f(x)=ln(x+1)+ -1

由均值不等式,当x>0时, ,∴

令k(x)=ln(x+1)﹣x,则k(0)=0,k′(x)= ,∴k(x)<0

∴ln(x+1)<x,②

由①②得,当x>0时,f(x)< x

记h(x)=(x+6)f(x)﹣9x,则当0<x<2时,h′(x)=f(x)+(x+6)f′(x)﹣9

=

∴h(x)在(0,2)内单调递减,又h(0)=0,∴h(x)<0

∴当0<x<2时,f(x)<


【解析】(1)由y=f(x)过(0,0),可求b的值,根据曲线y=f(x)与直线y= x在(0,0)点相切,利用导函数,可求a的值;(2)由(1)知f(x)=ln(x+1)+ -1,由均值不等式,可得 ,构造函数k(x)=ln(x+1)﹣x,可得ln(x+1)<x,从而当x>0时,f(x)< x,记h(x)=(x+6)f(x)﹣9x,可证h(x)在(0,2)内单调递减,从而h(x)<0,故问题得证
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值).

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