Question

【题目】已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则 的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[e，7]
【解析】解：∵4c﹣a≥b＞0
∴ ＞ ，
∵5c﹣3a≤4c﹣a，
∴ ≤2．
从而 ≤2×4﹣1=7，特别当 =7时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．
又clnb≥a+clnc，
∴0＜a≤cln ，
从而 ≥ ，设函数f（x）= （x＞1），
∵f′（x）= ，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0，
∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．
∴f（x）min=f（e）= =e．
等号当且仅当 =e， =e成立．代入第一个不等式知：2≤ =e≤3，不等式成立，从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．
从而 的取值范围是[e，7]双闭区间．