Question

【题目】若函数h（x）满足
①h（0）=1，h（1）=0；
②对任意a∈[0，1]，有h（h（a））=a；
③在（0，1）上单调递减．则称h（x）为补函数．已知函数h（x）= （λ＞﹣1，p＞0）
（1）判函数h（x）是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在m∈[0，1]，使得h（m）=m，若m是函数h（x）的中介元，记p= （n∈N+）时h（x）的中介元为xn ， 且Sn= ，若对任意的n∈N+ ， 都有Sn＜ ，求λ的取值范围；
（3）当λ=0，x∈（0，1）时，函数y=h（x）的图象总在直线y=1﹣x的上方，求P的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：函数h（x）是补函数，证明如下：

①h（0）= =1，h（1）= =0；

②任意a∈[0，1]，有h（h（a））=h（ ）= =a

③令g（x）=（h（x））p，有g′（x）= = ，

又因为λ＞﹣1，p＞0，

所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上是减函数，故h（x）在（0，1）上是减函数

由上证，函数h（x）是补函数

（2）

解：当p= （n∈N*），由h（x）=x得 ，

（i）当λ=0时，中介元xn= ，

（ii）当λ＞﹣1且λ≠0时，由（*）得 = ∈（0，1）或 = （0，1），得中介元xn= ，

综合（i）（ii）：对任意的λ＞﹣1，中介元为xn= ，

于是当λ＞﹣1时，有Sn= = = ，

当n无限增大时， 无限接近于0，Sn无限接近于 ，

故对任意的非零自然数n，Sn＜ 等价于 ，即λ∈[3，+∞）

（3）

解：当λ=0时，h（x）= ，中介元为 ．

<>（i）0＜p≤1时， ，中介元为 ≤ ，所以点（xp，h（xp））不在直线y=1﹣x的上方，不符合条件；

（ii）当p＞1时，依题意只需 ＞1﹣x在x∈（0，1）时恒成立，也即xp+（1﹣x）p＜1在x∈（0，1）时恒成立

设φ（x）=xp+（1﹣x）p，x∈（0，1），则φ′（x）=p（xp﹣1﹣（1﹣x）p﹣1）

令φ′（x）=0，得x= ，且当x∈（0， ）时，φ′（x）＜0，当x∈（ ，1）时，φ′（x）＞0，又φ（0）=φ（1）=1，所以x∈（0，1）时，φ（x）＜1恒成立．

综上，p的取值范围是（1，+∞）

【解析】（1）可通过对函数h（x）= （λ＞﹣1，p＞0）进行研究，探究其是否满足补函数的三个条件来确定函数是否是补函数；
（2）由题意，先根据中介元的定义得出中介元xn通式，代入Sn= ，计算出和，然后结合极限的思想，利用Sn＜ 得到参数的不等式，解出它的取值范围；
（3）λ=0，x∈（0，1）时，对参数p分类讨论由函数y=h（x）的图象总在直线y=1﹣x的上方这一位置关系进行转化，解出p的取值范围．