(Ⅰ)以直角坐标系的原点为极点.x轴的正半轴为极轴.并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$.它与曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{5cos}θ}\\{y=1+\sqrt{5sin}θ}\end{array}\right.$相交于两点A和B.求|AB|,(Ⅱ)已知极点与原点重合.极轴与x轴正� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．（Ⅰ）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），它与曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{5cos}θ}\\{y=1+\sqrt{5sin}θ}\end{array}\right.$（θ为参数）相交于两点A和B，求|AB|；
（Ⅱ）已知极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，若直线C₁的极坐标方程为：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$），曲线C₂的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=3+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），试求曲线C₂关于直线C₁对称的曲线的直角坐标方程．

分析（Ⅰ）把直线l的极坐标方程、曲线C的参数方程都化为直角坐标方程，根据圆心到直线的距离与半径的关系求出弦长|AB|；
（Ⅱ）把直线C₁的极坐标方程C₂的参数方程化为普通方程，利用点的对称关系求出对应曲线的方程．

解答解：（Ⅰ）直线的极坐标方程是θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），
化为普通方程是y=x；
曲线的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{5cos}θ}\\{y=1+\sqrt{5sin}θ}\end{array}\right.$（θ为参数），
化为直角坐标方程为圆：（x-1）²+（y-2）²=5；…（1分）
则圆心为C（1，2），半径R=$\sqrt{5}$，…（2分）
∴圆心C到直线y=x的距离为：d=$\frac{|1-2|}{\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$； …（3分）
由垂径定理得，|AB|=2$\sqrt{{R}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{5-\frac{1}{2}}$=3$\sqrt{2}$；…（4分）
（Ⅱ）∵直线C₁的极坐标方程为：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ=$\sqrt{2}$，
化为普通方程是x+y=2；…（5分）
又曲线C₂的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=3+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
消去参数得（x-1）²+（y-3）²=1，
∴曲线C₂是以（1，3）为圆心，1为半径的圆； …（6分）
设点P（x，y）是圆心（1，3）关于直线x+y=2的对称点，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-3}{x-1}=1}\\{\frac{x+1}{2}+\frac{y+3}{2}=2}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴P（-1，1）；
∴所求的曲线为圆（x+1）²+（y-1）²=1． …（7分）