题目内容
【题目】定义“正对数”: ,现有四个命题:
①若,则
②若,则
③若,则
④若,则
其中的真命题有:____________ (写出所有真命题的编号)
【答案】①③④
【解析】试题分析:
因为定义的“正对数”: 是一个分段函数 ,所以对命题的判断必须分情况讨论:
对于命题①(1)当,
时,有
,从而
,
,所以
;(2)当
,
时,有
,从而
,
,所以
;这样若
,则
,即命题①正确.
对于命题②举反例:当时,
,
所以,即命题②不正确.
对于命题③,首先我们通过定义可知“正对数”有以下性质: ,且
,(1)当
,
时,
,而
,所以
;(2)当
,
时,有
,
,而
,因为
,所以
;(3)当
,
时,有
,
,而
,所以
;(4)当
,
时,
,而
,所以
,综上即命题③正确.
对于命题④首先我们通过定义可知“正对数”还具有性质:若,则
,(1)当
,
时,有
,从而
,
,所以
;(2)当
,
时,有
,从而
,
,所以
;(3)当
,
时,与(2)同理,所以
;(4)当
,
时,
,
,因为
,所以
,从而
,综上即命题④正确.
通过以上分析可知:真命题有①③④.
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