题目内容
【题目】函数f（x）= 
是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，且f（2）= 
，
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义法证明f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
【答案】
（1）解：∵函数f（x）= 
是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴ 
=﹣ ，
∴b=﹣b，
∴b=0
又∵f（2）= 
= 
，
∴a=1，
∴函数f（x）= 
（2）解：证法一：设任意﹣1＜x1＜x2＜1，
∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）= 
﹣ 
= 
∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数
证法二：∵函数f（x）= ，
∴f′（x）= 
，
当x∈（﹣1，1）时，
f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数
（3）解：由题意知f（t﹣1）+f（t）＜0
∴f（t﹣1）＜﹣f（t）
∴f（t﹣1）＜f（﹣t）
∴﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1
∴0＜t＜ 
【解析】（1）由函数f（x）= 是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，且f（2）= ，求出a，b的值，可得函数f（x）的解析式；（2）证法一：设任意﹣1＜x1＜x2＜1，求出f（x1）﹣f（x2），并判断符号，进而根据函数单调性的定义得到f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数；证法二：求导，并分析出当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＞0恒成立，进而得到f（x）在区间（﹣1，1）上是增函数（3）不等式f（t﹣1）+f（t）＜0可化为：﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，解得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较，以及对利用导数研究函数的单调性的理解，了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减．
