Question

（12分）如图，从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t，问：x取何值时，长方体的容积V有最大值？

Answer 1

当x＝时，V取最大值

长方体的体积V＝4x(x－a)2，(o＜x＜a)，由≤ t 得　0＜x≤
而V′＝12(x－)(x－a)
∴V在（0，）增，在（，a）递减………………………………………………6分
∴若≥　即 t≥，当x＝时，V取最大值a3
若＜　即 0＜t＜，当x＝时，V取最大值………12分