Question

若函数f(x)对任意的实数x₁，x₂∈D，均有|f(x₂)－f(x₁)|≤|x₂－x₁|，则称函数f(x)是区间D上的“平缓函数”．
(1)判断g(x)＝sin x和h(x)＝x²－x是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；
(2)若数列{x_n}对所有的正整数n都有|x_n＋1－x_n|≤，设y_n＝sin x_n，求证：|y_n＋1－y₁|＜.

Answer 1

（1）不是（2）见解析

g(x)＝sin x是R上的“平缓函数”，但h(x)＝x²－x不是区间R上的“平缓函数”．设φ(x)＝x－sin x，则φ′(x)＝1－cos x≥0，则φ(x)＝x－sin x是实数集R上的增函数，
不妨设x₁＜x₂，则φ(x₁)＜φ(x₂)，即x₁－sin x₁＜x₂－sin x₂，
则sin x₂－sin x₁＜x₂－x₁.   ①
又y＝x＋sin x也是R上的增函数，则x₁＋sin x₁＜x₂＋sin x₂，
即sin x₂－sin x₁＞x₁－x₂，      ②
由①②得－(x₂－x₁)＜sin x₂－sin x₁＜x₂－x₁.
∴|sin x₂－sin x₁|＜|x₂－x₁|对x₁＜x₂都成立．
当x₁＞x₂时，同理有|sin x₂－sin x₁|＜|x₂－x₁|成立．
又当x₁＝x₂时，|sin x₂－sin x₁|＝|x₂－x₁|＝0，
∴对任意的实数x₁，x₂∈R，
均有|sin x₂－sin x₁|≤|x₂－x₁|.
∴g(x)＝sin x是R上的“平缓函数”．
∵|h(x₁)－h(x₂)|＝|(x₁－x₂)(x₁＋x₂－1)|，
取x₁＝3，x₂＝2，则|h(x₁)－h(x₂)|＝4＞|x₁－x₂|，
∴h(x)＝x²－x不是R上的“平缓函数”．
(2)证明　由(1)得g(x)＝sin x是R上的“平缓函数”．
则|sin x_n＋1－sin x_n|≤|x_n＋1－x_n|，
∴|y_n＋1－y_n|≤|x_n＋1－x_n|.
而|x_n＋1－x_n|≤，
∴|y_n＋1－y_n|≤＜＝.
∵|y_n＋1－y₁|＝|(y_n＋1－y_n)＋(y_n－y_n－1)＋(y_n－1－y_n－2)＋…＋(y₂－y₁)|，
∴|y_n＋1－y₁|≤|y_n＋1－y_n|＋|y_n－y_n－1|＋|y_n－1－y_n－2|＋…＋|y₂－y₁|.
∴|y_n＋1－y₁|≤
＝＜.