Question

7．已知S_n是各项均为正数的数列{a_n}的前n项和，且对于任意n∈N^*，均有2S_n=a²_n+a_n成立．数列（b_n}满足a_n=log₂b_n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）记d_n=5a_n-b_n，若已知存在正整数M，使得对一切n∈N^*，d_n≤M恒成立，请猜测M的最小值，并通过研究数列{d_n}的单调性证明你的猜测．

Answer 1

分析 （1）讨论当n=1时，a₁=S₁，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，化简整理，由等差数列的通项公式可得通项；
（2）由对数的定义，可得数列{b_n}的通项公式；
（3）求得d_n=5（n+1）-2ⁿ⁺¹，分别计算前几项，可得d₂最大，猜测M的最小值为7．再由作差法，可得{d_n}的单调性，即可得证．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁，2S₁=a₁²+a₁，
解得a₁=2，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，
2S_n=a_n²+a_n，即有2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，
两式相减可得，2a_n=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1，
即有（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）=a_n+a_n-1，
即为a_n-a_n-1=1，则a_n=2+n-1=n+1；
（2）数列（b_n}满足a_n=log₂b_n，
即有b_n=${2}^{{a}_{n}}$，即为b_n=2ⁿ⁺¹；
（3）d_n=5a_n-b_n=5（n+1）-2ⁿ⁺¹，
由d₁=10-4=6，d₂=15-8=7，d₃=20-16=4，
d₄=25-32=-7，…
猜测M的最小值为7．
由d_n+1-d_n=5（n+2）-2ⁿ⁺²-5（n+1）+2ⁿ⁺¹
=5-2ⁿ⁺¹，当n=1，d₂＞d₁，
当n＞1时，d_n+1-d_n＜0，即有数列{d_n}的单调递减，
则有d₂取得最大值7，
则对一切n∈N^*，d_n≤M恒成立，所以M≥7，M的最小值为7．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意数列的通项和求和的关系，考查等差数列的通项公式的运用和数列的单调性的运用，考查数列不等式恒成立问题的解法，属于中档题．