Question

15．已知F₁、F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与椭圆交于M，N两点，若△MNF₂为等腰直角三角形，则椭圆的离心率e为$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 把x=-c代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1方程，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$．由于△MNF₂为等腰直角三角形，可得$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，化简整理即可得出．

解答 解：把x=-c代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1方程，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵△MNF₂为等腰直角三角形，
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，即a²-c²=2ac，
化为e²+2e-1=0，0＜e＜1．
解得e=$\sqrt{2}$-1．
故答案为：$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等腰直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．