题目内容
15.已知f(x)=x2-2x+2.(1)若x∈[t,t+1],求f(x)的最小值并用解析式g(t)表示;
(2)求g(t)在t∈[-2,2]上的值域.
分析 (1)求出二次函数f(x)的对称轴为直线x=1,图象开口向上,分区间在对称轴的左侧、区间包含对称轴、区间在对称轴的右侧三种情况,分别利用单调性求出函数的最小值,即可得到g(t)的表达式.
(2)利用(1)的解析式,分类讨论,即可求g(t)在t∈[-2,2]上的值域.
解答 解:(1)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,所以,其图象的对称轴为直线x=1,且图象开口向上.
①当t+1<1,即t<0时,f(x)在[t,t+1]上是减函数,所以g(t)=f(t+1)=t2+1;
②当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数f(x)在顶点处取得最小值,即g(t)=f(1)=1;
③当t>1时,f(x)在[t,t+1]上是增函数,
所以g(t)=f(t)=t2-2t+2.
综上可得,g(t)=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+1,t<0}\\{1,0≤t≤1}\\{{t}^{2}-2t+2,t>1}\end{array}\right.$.
(2)t∈[-2,0),g(t)∈[1,5];t∈[0,1],g(t)=1;t∈(1,2],g(t)∈[1,2];
∴g(t)在t∈[-2,2]上的值域是[1,5].
点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,求函数的解析式,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
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