题目内容

（文）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．
（1）求x1x2与y1y2的值；
（2）求证：OA⊥OB．
（1）设直线l的方程为：y=k（x-2）（k≠0），
由
y=k(x-2)
y2=2x
得k2x2-（4k2+2）x+4k2=0，k≠0，△＞0，
则x1+x2=
4k2+2
k2
，x1x2=
4k2
k2
=4，
y1y2=k2（x1-2）（x2-2）=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]=k2•[4-2×
4k2+2
k2
+4]=k2•（-
4
k2
）=-4．
所以x1x2=4，y1y2=-4．
（2）由（1）知，x1x2=4，y1y2=-4，
所以
OA
•
OB
=（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2=4-4=0，
所以
OA
⊥
OB
，即OA⊥OB．
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线的顶点都是椭圆的顶点，直线：经过椭圆的一个焦点．⑴求椭圆的方程；⑵抛物线经过椭圆的两个焦点，与直线相交于、，试将线段的长表示为的函数．
已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点，设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点，
MF
=λ
FB
（λ＞0）
（1）若λ=1，求直线l斜率
（2）若点A、B在x轴上的射影分别为A1，B1且|
B1F
|，|
OF
|，2|
A1F
|成等差数列求λ的值
（3）设已知抛物线为C1：y2=x，将其绕顶点按逆时针方向旋转90°变成C1′．圆C2：x2+（y-4）2=1的圆心为点N．已知点P是抛物线C1′上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C′1于T，S，两点，若过N，P两点的直线l垂直于TS，求直线l的方程．
直线y=x+2与双曲线
x2
m
-
y2
3
=1有两个公共点，则m的取值范围是（　　）
A．m＞-1且m≠3B．0＜m＜7且m≠3C．m＞7D．m＜0
已知点P为抛物线y2=2x上的动点，则点P到直线y=x+2的距离的最小值为______．
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点(
2
，
6
2
)．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；
（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点（1，
3
2
），F1，F2分别为椭圆C的左右焦点，且离心率e=
1
2

（1）求椭圆C的方程．
（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F2与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足k1+k2=-
1
2
，求直线l的方程．
如图，已知椭圆E1方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，圆E2方程为x2+y2=a2，过椭圆的左顶点A作斜率为k1直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B、C．
（Ⅰ）若k1=1时，B恰好为线段AC的中点，试求椭圆E1的离心率e；
（Ⅱ）若椭圆E1的离心率e=
1
2
，F2为椭圆的右焦点，当|BA|+|BF2|=2a时，求k1的值；
（Ⅲ）设D为圆E2上不同于A的一点，直线AD的斜率为k2，当
k1
k2
=
b2
a2
时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
如图，已知抛物线方程为y2=8x．直线l1过抛物线的焦点F，且倾斜角为45°，直线l1与抛物线相交于C、D两点，O为原点．
（1）写出直线l1方程
（2）求CD的长度．

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