题目内容
三棱锥P-ABC,底面ABC为边长为2
的正三角形,平面PBC⊥平面ABC,PB=PC=2,D为AP上一点,AD=2DP,O为底面三角形中心.
(Ⅰ)求证DO∥面PBC;
(Ⅱ)求证:BD⊥AC;
(Ⅲ)求面DOB截三棱锥P-ABC所得的较大几何体的体积.

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(Ⅰ)求证DO∥面PBC;
(Ⅱ)求证:BD⊥AC;
(Ⅲ)求面DOB截三棱锥P-ABC所得的较大几何体的体积.

(本小题满分12分)
证明:(Ⅰ)连接AO并延长交BC于点E,
连接PE、DO.--------------(1分)
∵O为正三角形ABC的中心,
∴AO=2OE,
又AD=2DP,∴DO∥PE,--------------(2分)
∵DO?平面PBC,PE?平面PBC--------------(3分)
∴DO∥面PBC.--------------(4分)
(Ⅱ)∵PB=PC,且E为BC中点,∴PE⊥BC,
又平面PBC⊥平面ABC,∴PE⊥平面ABC.--------------(5分)
由(Ⅰ)知,DO∥PE,∴DO⊥平面ABC,
∴DO⊥AC--------------(6分)
连接BO,则AC⊥BO,
又DO∩BO=O,∴AC⊥平面DOB,--------------(7分)
∴AC⊥BD.--------------(8分)
(Ⅲ)连接BO并延长交AC于点F,连接DF,
则面DOB将三棱锥P-ABC截成三棱锥D-ABF和四棱锥B-DFCP两个几何体.--------------(9分)
VD-ABF=
×S△ABF×DO=
×
×
=
-----------(10分)
VP-ABC=
×S△ABC×PE=
×3
=
--------------(11分)
∴所截较大部分几何体的体积为
.--------------(12分)

证明:(Ⅰ)连接AO并延长交BC于点E,
连接PE、DO.--------------(1分)
∵O为正三角形ABC的中心,
∴AO=2OE,
又AD=2DP,∴DO∥PE,--------------(2分)
∵DO?平面PBC,PE?平面PBC--------------(3分)
∴DO∥面PBC.--------------(4分)
(Ⅱ)∵PB=PC,且E为BC中点,∴PE⊥BC,
又平面PBC⊥平面ABC,∴PE⊥平面ABC.--------------(5分)
由(Ⅰ)知,DO∥PE,∴DO⊥平面ABC,
∴DO⊥AC--------------(6分)
连接BO,则AC⊥BO,
又DO∩BO=O,∴AC⊥平面DOB,--------------(7分)
∴AC⊥BD.--------------(8分)
(Ⅲ)连接BO并延长交AC于点F,连接DF,
则面DOB将三棱锥P-ABC截成三棱锥D-ABF和四棱锥B-DFCP两个几何体.--------------(9分)
VD-ABF=
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1 |
3 |
3 |
2 |
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2 |
3 |
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VP-ABC=
1 |
3 |
1 |
3 |
3 |
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∴所截较大部分几何体的体积为
2 |
3 |
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