题目内容

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
（1）求直线BE和直线CD所成角的余弦值；
（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由于AB∥CD，
故∠ABE（或其补角）即为直线BE和直线CD所成角．
设正方体的棱长为1，则由E是棱DD1的中点，可得AB=1，BE=
BD2+DE2
=
3
2
，
在Rt△ABE中，由余弦定理求得cos∠ABE=
AB
AE
=
2
3
．
（II）设AB1∩A1B=O，取C1D1中点F，连接OE、EB、B1F．根据三角形中位线定理，得EF∥C1D且EF=
1
2
C1D，平行四边形AB1C1D中，有B1O∥C1D且B1O=
1
2
C1D，
∴EF∥B1O且EF=B1O，四边形B1OEF为平行四边形，B1F∥OE，又B1F?平面A1BE，OE?平面A1BE，
∴B1F∥平面A1BE，
即存在C1D1中点F，使B1F∥平面A1BE．
练习册系列答案
相关题目
一个正三棱柱的每一条棱长都是a，则经过底面一边和相对侧棱的一个端点的截面（即图中△ACD）的面积为（　　）
A．
7
4
a2		B．
7
2
a2		C．
6
3
a2		D．
7
a2
如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1口，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=
2
，AA1=3，E为CD7一点，DE=1，EC=3
（1）证明：BE⊥平面BB1C1C；
（2）求点B1到平面EA1C1的距离．
如图，三角形ABC中，AC=BC=
2
2
AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；
（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．
如图，已知PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=
1
2
CD，∠BAD=∠ADC=90°
（1）在面PCD上找一点M，使BM⊥面PCD；
（2）求由面PBC与面PAD所成角的二面角的余弦值．
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA1=4，点D是AB的中点，
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1．
（3）求二面角C1-AB-C的正切值．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥PD，E，F分别为PC，BD的中点．证明
（1）EF∥平面PAD；
（2）EF⊥平面PDC．
长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=
2
，AB=BC=2，O是底面对角线的交点．
（Ⅰ）求证：B1D1∥平面BC1D；
（Ⅱ）求证：A1O⊥平面BC1D；
（Ⅲ）求三棱锥A1-DBC1的体积．
三棱锥P-ABC，底面ABC为边长为2
3
的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D为AP上一点，AD=2DP，O为底面三角形中心．
（Ⅰ）求证DO∥面PBC；
（Ⅱ）求证：BD⊥AC；
（Ⅲ）求面DOB截三棱锥P-ABC所得的较大几何体的体积．

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