题目内容
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点．求证：
（1）BD1∥平面EAC；
（2）平面EAC⊥平面AB1C．
（1）BD1∥平面EAC；
（2）平面EAC⊥平面AB1C．
证明：（1）连接BD，交AC于O．连接EO，BD1．（2分）
因为E为DD1的中点，所以BD1∥OE．（5分）
又OE?平面EAC，BD1?平面EAC，
所以BD1∥平面EAC；（7分）
（2）∵BB1⊥AC，BD⊥AC．BB1∩BD=B，BB1、BD在面BB1D1D 内
∴AC⊥平面BB1D1D
又BD1?平面BB1D1D∴BD1⊥AC．（10分）
同理BD1⊥AB1，∴BD1⊥平面AB1C．（12分）
由（1）得BD1∥OE，∴EO⊥平面AB1C．
又EO?平面EAC，∴平面EAC⊥平面AB1C．（14分）
因为E为DD1的中点，所以BD1∥OE．（5分）
又OE?平面EAC，BD1?平面EAC，
所以BD1∥平面EAC；（7分）
（2）∵BB1⊥AC，BD⊥AC．BB1∩BD=B，BB1、BD在面BB1D1D 内
∴AC⊥平面BB1D1D
又BD1?平面BB1D1D∴BD1⊥AC．（10分）
同理BD1⊥AB1，∴BD1⊥平面AB1C．（12分）
由（1）得BD1∥OE，∴EO⊥平面AB1C．
又EO?平面EAC，∴平面EAC⊥平面AB1C．（14分）
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