题目内容
如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=A1B1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；
（Ⅰ）证明：如图，连接AB1与A1B相交于M，则M为A1B的中点，
连接MD，D又为AC的中点，
∴B1C∥MD．
又B1C不包含于平面A1BD，MD?平面A1BD，B1C∥平面A1BD
∴B1C∥平面A1BD．（5分）
（Ⅱ）∵AB=B1B∴四边形ABB1A1为正方形
∴A1B⊥AB1
又∵AC1⊥面A1BD，∴AC1⊥A1B，
∴A1B⊥面AB1C1，
∴A1B⊥B1C1，
又在直棱柱ABC-A1B1C1中BB1⊥B1C1，
∴B1C1⊥平面ABB1A1（9分）
连接MD，D又为AC的中点，
∴B1C∥MD．
又B1C不包含于平面A1BD，MD?平面A1BD，B1C∥平面A1BD
∴B1C∥平面A1BD．（5分）
（Ⅱ）∵AB=B1B∴四边形ABB1A1为正方形
∴A1B⊥AB1
又∵AC1⊥面A1BD，∴AC1⊥A1B，
∴A1B⊥面AB1C1，
∴A1B⊥B1C1，
又在直棱柱ABC-A1B1C1中BB1⊥B1C1，
∴B1C1⊥平面ABB1A1（9分）
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