题目内容
空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？
证明：（1）∵BC∥平面EFGH，BC?平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=EF，
∴BC∥EF，同理BC∥HC，
∴EF∥HG．
同理可证EH∥FG，
∴四边形EFGH为平行四边形．
（2）∵AD与BC成角为60°，
∴∠HEF=60°（或120°），设
=x，
∵
=
=x，BC=a，
∴EF=ax，由
=
=
，得EH=（1-x）a．
∴S四边形EFGH=EF•EH•sin60°
=ax•a（1-x）•
=
a2•x（1-x）≤
a2•(
)2=
a2．
当且仅当x=1-x，即x=
时等号成立，即E为AB的中点时，截面EFGH的面积最大为
a2．
∴BC∥EF，同理BC∥HC，
∴EF∥HG．
同理可证EH∥FG，
∴四边形EFGH为平行四边形．
（2）∵AD与BC成角为60°，
∴∠HEF=60°（或120°），设
| AE |
| AB |
∵
| EF |
| BC |
| AE |
| AB |
∴EF=ax，由
| EH |
| AD |
| BE |
| AB |
| 1-x |
| 1 |
∴S四边形EFGH=EF•EH•sin60°
=ax•a（1-x）•
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| x+1-x |
| 2 |
| ||
| 8 |
当且仅当x=1-x，即x=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 8 |
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