Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1；
（1）设b_n=a_n+1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设c_n=na_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=2a_n+1，两边加1，由等比数列的定义，即可得证；
（2）运用等比数列的通项公式，即可得到{a_n}的通项公式；
（3）求出c_n，分别运用等差数列和等比数列的求和公式，以及错位相减法，即可得到所求前n项和T_n．

解答 解：（1）证明：a_n+1=2a_n+1，可得a_n+1+1=2（a_n+1），
即有b_n+1=2b_n，
则数列{b_n}是首项为a₁+1=2，公比为2的等比数列；
（2）由等比数列的通项公式可得，
b_n=2•2^n-1=2ⁿ，
即有a_n=2ⁿ-1；
（3）c_n=na_n=n•2ⁿ-n，
令S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②可得，-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
即有S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
则前n项和T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，以及数列的求和方法：错位相减法，同时考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，属于中档题．