Question

2．已知在△ABC中，若cos²A+cos²B+cos²C=1，则△ABC的形状是直角三角形．

Answer 1

分析 由已知可得：sin²A+sin²B+sin²C=2，而余弦定理，正弦定理结合可得：sin²C=sin²A+sin²B-2sinAsinBcosC，利用倍角公式及和差化积公式化简可得2sinAsinBcosC=2cosC（cosAcosB+sinAsinB），解得cosCcosAcosB=0，从而可判断cosA、cosB、cosC之中至少有一个是0．即可得解．

解答 解：若cosA²+cosB²+cosc²=1，
3-（sin²A+sin²B+sin²C）=1，
sin²A+sin²B+sin²C=2，
而，sin²C=sin²A+sin²B-2sinAsinBcosC，（余弦定理，正弦定理结合）
则有，2sin²A+2sin²B-2sinAsinBcosC=2，
则，2sinAsinBcosC=2sin²A+2sin²B-2
=-cos（2A）-cos2B=-2cos（A+B）cos（A-B）=2cosCcos（A-B）
=2cosC（cosAcosB+sinAsinB）
即，cosCcosAcosB=0，A+B+C=180°且A，B，C均大于0°．
所以：cosA、cosB、cosC之中至少有一个是0．
即：A、B、C 之中至少有一个是90°，又A、B、C 之中至多有一个是90°，
故三角形ABC为直角△．
故答案为：直角三角形．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差化积公式，倍角公式，余弦函数的图象和性质，考查了转化思想，技巧性较强，属于中档题．