题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若在定义域内是增函数,且存在不相等的正实数
,使得
,证明:
.
【答案】(1)当时,
在
上递增,在
上递减;
当时,
在
上递增,在
上递减,在
上递增;
当时,
在
上递增;
当时,
在
上递增,在
上递减,在
上递增;
(2)证明见解析
【解析】
(1)对求导,分
,
,
进行讨论,可得
的单调性;
(2)在定义域内是是增函数,由(1)可知
,
,设
,可得
,则
,设
,对
求导,利用其单调性可证明
.
解:的定义域为
,
因为,
所以,
当时,令
,得
,令
,得
;
当时,则
,令
,得
,或
,
令,得
;
当时,
,
当时,则
,令
,得
;
综上所述,当时,
在
上递增,在
上递减;
当时,
在
上递增,在
上递减,在
上递增;
当时,
在
上递增;
当时,
在
上递增,在
上递减,在
上递增;
(2)在定义域内是是增函数,由(1)可知
,
此时,设
,
又因为,则
,
设,则
对于任意
成立,
所以在
上是增函数,
所以对于,有
,
即,有
,
因为,所以
,
即,又
在
递增,
所以,即
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着运动app和手环的普及和应用,在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象,“日行一万步,健康一辈子”的观念广泛流传.“健步达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友(共500人)的走路步数,并整理成下表:
分组(单位:千步) | ||||||||
频数 | 60 | 240 | 100 | 60 | 20 | 18 | 0 | 2 |
(1)请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表);
(2)若用表示事件“走路步数低于平均步数”,试估计事件
发生的概率;
(3)若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”,小王朋友圈中岁数在40岁以上的中老年人共有300人,其中健步达人恰有150人,请填写下面列联表.根据列联表判断,有多大把握认为,健步达人与年龄有关?
健步达人 | 非健步达人 | 合计 | |
40岁以上 | |||
不超过40岁 | |||
合计 |
附:.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |