题目内容
【题目】直角坐标系xOy中，椭圆
（a＞b＞0）的短轴长为
，离心率为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为1且经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于P1、P2两点，P是椭圆上任意一点，若
（λ，μ∈R），证明：λ2+μ2为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）利用已知条件解得
，
，得到椭圆的方程.
（2）直线P1P2的方程为y＝x﹣2，由
得，2x2﹣6x+3＝0，
设P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、P（x0，y0），结合韦达定理，以及向量关系，通过P、P1、P2都在椭圆上，转化求解即可.
（1）依题意，
，
，
解得，，椭圆的方程为，
（2）证明：
，直线P1P2的方程为y＝x﹣2，
由得，2x2﹣6x+3＝0，
设P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、P（x0，y0），则x1+x2＝3，
，
由
得x0＝λx1+μx2，y0＝λy1+μy2，
因为P、P1、P2都在椭圆上，所以
，i＝0，1，2，
＝6λ2+6μ2+3λμ（1+2y1y2），
，
所以，6λ2+6μ2＝6，λ2+μ2＝1是定值.
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【题目】2020年1月22日，国新办发布消息：新型冠状病毒来源于武汉一家海鲜市场非法销售的野生动.专家通过全基因组比对发现此病毒与2003年的非典冠状病毒以及此后的中东呼吸综合征冠状病毒，分别达到70%和40%的序列相似性.这种新型冠状病毒对人们的健康生命带来了严重威胁因此，某生物疫苗研究所加紧对新型冠状病毒疫苗进行实验，并将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：
未感染病毒 | 感染病毒 | 总计 | |
未注射疫苗 | 20 |
|
|
注射疫苗 | 30 |
|
|
总计 | 50 | 50 | 100 |
现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为
.
（1）求
列联表中的数据
，
，
，
的值；
（2）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效？
附：
.
| 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
