Question

【题目】直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的短轴长为，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）斜率为1且经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于P1、P2两点，P是椭圆上任意一点，若（λ，μ∈R），证明：λ2+μ2为定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）利用已知条件解得，，得到椭圆的方程.

（2）直线P1P2的方程为y＝x﹣2，由得，2x2﹣6x+3＝0，

设P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、P（x0，y0），结合韦达定理，以及向量关系，通过P、P1、P2都在椭圆上，转化求解即可.

（1）依题意，，，

解得，，椭圆的方程为，

（2）证明：，直线P1P2的方程为y＝x﹣2，

由得，2x2﹣6x+3＝0，

设P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、P（x0，y0），则x1+x2＝3，，

由得x0＝λx1+μx2，y0＝λy1+μy2，

因为P、P1、P2都在椭圆上，所以，i＝0，1，2，

＝6λ2+6μ2+3λμ（1+2y1y2），

，

所以，6λ2+6μ2＝6，λ2+μ2＝1是定值.