Question

【题目】已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）判断函数的零点的个数，并说明理由；

（3）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.

Answer 1

【答案】（1）（2）有且仅有两个零点，详见解析（3）证明见解析

【解析】

（1）根据导数的几何意义可求得结果；

（2）根据单调性和零点存在性定理可得在和上各有唯一一个零点，由此可得答案；

（3）根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线为，设曲线在点处的切线斜率为，根据导数的几何意义求出切线方程为，根据是的一个零点，可证两条切线重合.

（1）因为，

所以，，.

所以曲线在点处的切线的方程为.

（2）函数有且仅有两个零点.理由如下：

的定义域为.

因为，

所以在和上均单调递增.

因为，，

所以在上有唯一零点.

因为，，

所以在上有唯一零点.

综上，有且仅有两个零点.

（3）曲线在点处的切线方程为，即.

设曲线在点处的切线斜率为，

则，，，即切点为.

所以曲线在点处的切线方程为

，即.

因为是的一个零点，所以.

所以.

所以这两条切线重合.

所以结论成立.