题目内容
9.设数列{an}前n项和为Sn,满足a1=1,Sn+1=2Sn+2n+1,n∈N+.(1)求a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
分析 (1)通过a1=1、在Sn+1=2Sn+2n+1中令n=1,直接计算即得结论;
(2)通过Sn+1=2Sn+2n+1与Sn+2=2Sn+1+2(n+1)+1作差、整理可知an+2=2an+1+2,变形可知an+2+2=2(an+1+2),进而可知数列{an+2}是以3为首项、2为公比的等比数列,计算即得结论.
解答 解:(1)∵a1=1,Sn+1=2Sn+2n+1,
∴a1+a2=2a1+2+1,
整理得:a2=a1+2+1=1+2+1=4;
(2)∵Sn+1=2Sn+2n+1,
∴Sn+2=2Sn+1+2(n+1)+1,
两式相减得:an+2=2an+1+2,
整理得:an+2+2=2(an+1+2),
又∵a2+2=4+2=6=2(1+2)=2(a1+2)满足上式,
∴数列{an+2}是以3为首项、2为公比的等比数列,
∴an+2=3•2n-1,
∴数列{an}的通项公式an=-2+3•2n-1.
点评 本题考查数列的通项及前n项和,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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