Question

12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R），且函数f（x）的最大值为2、两条对称轴之间最小距离为$\frac{π}{4}$，并且函数f（x）的图象过点（$\frac{π}{24}$，0）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设△ABC的角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且f（$\frac{C}{4}$）=2，c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求a+2b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知得$A=2，\frac{2π}{ω}=\frac{π}{2}，sin（\frac{ωπ}{24}+φ）=0$，|φ|＜$\frac{π}{2}$，从而解得A，ω，φ的值，即可得解．
（2）由f（$\frac{C}{4}$）=2sin（4×$\frac{C}{4}$-$\frac{π}{6}$）=2sin（C-$\frac{π}{6}$）=2，结合0＜C＜π，解得C=$\frac{2π}{3}$，由正弦定理可得：a=sinA，b=sinB，可得a+2b=$\sqrt{3}$cosA．结合范围0$＜A＜\frac{π}{3}$，即可求得a+2b的取值范围．

解答 解：（1）由已知得$A=2，\frac{2π}{ω}=\frac{π}{2}，sin（\frac{ωπ}{24}+φ）=0$，|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴A=2，ω=4，φ=$-\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（4x-$\frac{π}{6}$）．
（2）∵f（$\frac{C}{4}$）=2sin（4×$\frac{C}{4}$-$\frac{π}{6}$）=2sin（C-$\frac{π}{6}$）=2，
∴解得：C-$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴由0＜C＜π，解得C=$\frac{2π}{3}$，
∵由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{sin\frac{2π}{3}}$=1，
∴a+2b=sinA+2sinB=sinA+2sin（$\frac{π}{3}$-A）=sinA+2（$\frac{\sqrt{3}}{2}cosA-\frac{1}{2}sinA$）=$\sqrt{3}$cosA．
∵0$＜A＜\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$＜cosA＜1，
∴a+2b=$\sqrt{3}$cosA∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦定理的应用，辅助角公式的应用．考查了学生对基础知识的综合运用，属于中档题．