Question

7．下列关于（$\sqrt{26}$+5）ⁿ（n为正奇数）的描述，正确的是（　　）

• A． （$\sqrt{26}$+5）ⁿ可能为整数
• B． （$\sqrt{26}$+5）ⁿ不能写成a+b$\sqrt{26}$的形式，其中a，b为整数
• C． （$\sqrt{26}$+5）ⁿ和（$\sqrt{26}$-5）ⁿ的小数部分不一样
• D． （$\sqrt{26}$+5）ⁿ的小数表示中小数点后面至少接连有n个零

Answer 1

分析 把（$\sqrt{26}$+5）ⁿ 按照二项式定理展开，分析每一项的特点，从而得出结论．

解答 解：由于（$\sqrt{26}$+5）ⁿ =${C}_{n}^{0}$•${（\sqrt{26}）}^{n}$+${C}_{n}^{1}$•${（\sqrt{26}）}^{n-1}$•5+${C}_{n}^{2}$•${（\sqrt{26}）}^{n-2}$•5²+…+${C}_{n}^{n-1}$•$\sqrt{26}$•5^n-1+${C}_{n}^{n}$•5ⁿ，n为正奇数，
显然奇数项为k$\sqrt{26}$的形式，k为正整数，且偶数项为正整数，
故（$\sqrt{26}$+5）ⁿ 一定能写成a+b$\sqrt{26}$的形式，其中a，b为正整数，故A、B、D不正确．
再根据（$\sqrt{26}$-5）ⁿ =${C}_{n}^{0}$•${（\sqrt{26}）}^{n}$-${C}_{n}^{1}$•${（\sqrt{26}）}^{n-1}$•5+${C}_{n}^{2}$•${（\sqrt{26}）}^{n-2}$•5²+…+${C}_{n}^{n-1}$•$\sqrt{26}$•5^n-1-${C}_{n}^{n}$•5ⁿ，
故（$\sqrt{26}$-5）ⁿ 一定能写成a-b$\sqrt{26}$的形式，其中a，b为正整数，故（$\sqrt{26}$+5）ⁿ和（$\sqrt{26}$-5）ⁿ的小数部分不一样，故C正确，
故选：C．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．