Question

17．（1）当a为何值时，不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解是全体实数．
（2）当a为何值时，不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0无解．

Answer 1

分析 （1）若不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集是全体实数，我们分a²-1=0，和a²-1≠0两种情况进行讨论，分别求出满足条件的a后，综合讨论结果即可得到答案；
（2）若不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0无解，结合（1）我们分a²-1=0，和a²-1≠0两种情况进行讨论，分别求出满足条件的a后，综合讨论结果即可得到答案．

解答 解：（1）当a²-1=0时，a=±1，
若a=1，不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0可化为-1＜0恒成立，满足条件；
若a=-1，不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0可化为2x-1＜0不恒成立，不满足条件；
当a²-1≠0时，若不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0的解集是全体实数，
则 $\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＜0}\\{{（a-1）}^{2}+4{（a}^{2}-1）＜0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{3}{5}$＜a＜1，
综上可得，实数a的取值范围是：-$\frac{3}{5}$＜a≤1，
故答案为：-$\frac{3}{5}$＜a≤1．
（2）由（1）得：a=-1时，2x-1＜0有解，不合题意，
a=1时，-1＜0恒成立，不合题意，
当a²-1≠0时，若不等式（a²-1）x²-（a-1）x-1＜0无解，
则：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＞0}\\{△{=（a-1）}^{2}+4{（a}^{2}-1）≥0}\end{array}\right.$，解得：a＞1或a＜-1，
综上：a＞1或a＜-1时，不等式无解．

点评 本题考查的知识点是类一元二次不等式恒成立问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．