题目内容

【题目】如图，⊙O1与⊙O2交于P、Q两点，⊙A的弦以与⊙O2相切，⊙O2的弦PB与⊙O1相切，直线PQ与△PAB的外接圆⊙O交于另一点R.证明：PQ=QR.

【答案】见解析

【解析】

联结O1O2，分别与PQ、PO交于点M、N，则O1O2⊥PQ，且M为PQ的中点.联结PO1、PO2、OOl、OO2、OQ、OR.

因为PA与⊙O2相切，所以，PA⊥PO2.

又PA为⊙O1与⊙O的公共弦，则PA⊥O1O.

于是，PO2∥O1O.

类似地，PO1∥O2O.

所以，四边形PO1OO2为平行四边形.

从而，N为PO的中点.

由M为PQ的中点，知MN∥OQ，即O1O2∥OQ.

因为O1O2⊥OQ，所以，OQ⊥PR.

又OP=OR，故Q为PR的中点，即PQ=QR.

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