题目内容
【题目】如图所示，在四棱台
中，
底面
，四边形为菱形，
，
.
（1）若
为
中点，求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
试题（1）连接
，可证
，又因为
底面
，可得
，即可得证.
（2）如图建立空间直角坐标系
，求出
和平面
的一个法向量
的坐标，则直线
与平面所成角的正弦值
.
试题解析：
（Ⅰ）∵四边形为菱形，
，连结，则
为等边三角形，
又∵
为
中点∴
，由
得∴
∵底面，
底面∴，又∵
∴
平面
（Ⅱ）∵四边形为菱形，，
，
得
，
，∴
又∵底面，
分别以
，
，
为
轴、
轴、
轴，建立如图所示的空间直角坐标系
、
、
、
∴
，
，
设平面的一个法向量
，
则有
，令
，则
∴直线与平面所成角
的正弦值
．
点晴：本题考查的空间的线面关系以及空间的角.第一问通过证明直线和平面内的两条相交直线
垂直，证明
平面；第二问中通过建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量
，结合
得到结论.
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