Question

【题目】如图所示，已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，求△AOB面积最小时l的方程．

Answer 1

【答案】

【解析】

假设直线与坐标轴交点，设直线的截距式，将点P代入直线方程，求出a、b关系，根据三角形面积的公式，用a表示三角形面积，整理为关于a的二次方程，令，求得三角形面积的最小值，然后求出参数值，即可得出直线方程.

设A(a，0)，B(0，b)，显然a>3，b>2，

则直线l的方程为＋＝1，

因为P(3，2)在直线l上，所以＋＝1，于是b＝，

所以S△AOB＝ab＝，整理得a2－S△AOB·a＋3S△AOB＝0(*)．

因为此方程有解，所以Δ＝S－12S△AOB≥0，

又因为S△AOB>0，所以S△AOB≥12，S△AOB最小值＝12．

将S△AOB＝12代入(*)式，得a2－12a＋36＝0，解得a＝6，b＝4．

此时直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0．