题目内容
【题目】已知是抛物线
:
(
)上一点,
是抛物线的焦点,
且
.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知 ,过
的直线
交抛物线
于
、
两点,以
为圆心的圆
与直线
相切,试判断圆
与直线
的位置关系,并证明你的结论.
【答案】(1)抛物线的方程为
;(2)圆
与直线
相切.
【解析】试题分析:(1)由抛物线的方程,可得焦点坐标与准线方程
,过
作
于点
,
连接 ,利用等边三角形,求得
的值,即可得到抛物线的方程;
(2)当直线 的斜率不存在时,可得圆
与直线
相切.
当直线的斜率存在时,设方程为
,代入抛物线的方程,求得
,进而得到直线
、
的方程,求得点
到直线
的距离,得到
,即可判定直线与圆相切.
试题解析:
(1)抛物线 :
(
)的准线方程为
:
,
过 作
于点
,连接
,则
,
∵ ,∴
为等边三角形,
∴ ,∴
.
∴抛物线 的方程为
.
(2)直线 的斜率不存在时,
为等腰三角形,且
.
∴圆 与直线
相切.
直线 的斜率存在时,设方程为
,
代入抛物线方程,得 ,
设 ,
,则
.
直线 的方程为
,即
,
∴圆 的半径
满足
.
同理,直线 的方程为
,
到直线
的距离
,
.
∴ ,∴
,∴圆
与直线
相切,
综上所述,圆 与直线
相切.
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练习册系列答案
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x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.(其中
,
).