题目内容
【题目】如图,在三棱锥S﹣ABC中,SA⊥底面ABC,AC=AB=SA=2,AC⊥AB,D、E分别是AC、BC的中点,F在SE上,且SF=2FE.
(1)求证:平面SBC⊥平面SAE
(2)若G为DE中点,求二面角G﹣AF﹣E的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)利用底面
证得
,由等腰三角形的性质证得
,由此证得
平面
,进而证得平面
平面
.
(2)以为坐标原点建立空间直角坐标系,通过平面
和平面
的法向量,计算出二面角
的余弦值,进而求得二面角的大小.
(1)∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥BC,
又∵AC=AB,且点E是BC的中点,
∴BC⊥AE,
∵SA∩AE=A,∴BC⊥底面SAE,
∵BC平面SBC,
∴平面SBC⊥平面SAE.
(2)以A点为坐标原点,分别以AC,AB,AS为x,y,z轴建立空间坐标系O﹣xyz,
则A(0,0,0),S(0,0,2),E(1,1,0),G(1,,0),C(2,0,0),B(0,2,0),
由SF=2FE得F(,
,
),
∴=(1,1,0),
=(
,
),
=(1,
,0),
=(2,﹣2,0).
设平面AFG的法向量为=(x,y,z),则
,
令y=2,得到x=﹣1,z=﹣1,
即=(﹣1,2,﹣1),
设平面AFE的法向量为,
由(1)知为平面AES的一个法向量,
=
=(2,﹣2,0),
∴cosα==
=
,
∵二面角G﹣AF﹣E的平面角为锐角,
∴二面角G﹣AF﹣E的大小为.
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