题目内容
【题目】在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律．右边的数字三角形可以看作当n依次取0，1，2，3，…时
展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列
．例：
，
，
，…．
（1）写出数列的通项公式（结果用组合数表示），无需证明；
（2）猜想
，与
的大小关系，并用数学归纳法证明．
【答案】（1）
；（2）
，证明详见解析．
【解析】
（1）根据图形可直接归纳出结论；
（2）先证明
，猜想：
，利用数学归纳法证明不等式即可.
（1）
（2）先证明一个事实：对任意的
，都有
当n为奇数时，
；
当n为偶数时
．
所以对任意的，都有
当
时，
当
时，
；
当
时，
．
猜想
下面用数学归纳法证明：
当时，成立．
假设当
时，
成立，
那么当
时
．
所以当时．命题也成立．
综上，对任意的
，成立．
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