题目内容
10．设复数z1=-1+i，z2=3-i（i为虚数单位），若复数z满足|z-z1|-|z-z2|=4，则|z-z1+z22z1+z22|的最小值是2．分析 由题意可得复数z在复平面内对应的点Z的轨迹为以z1，z2为焦点，实半轴为a=2，半焦距为c=√5√5的双曲线，求出z1+z22z1+z22对应的点（1，0），然后借助于双曲线的性质得答案．
解答 解：设复数z在复平面内对应的点为Z，
∵z1=-1+i，z2=3-i，∴z1，z2在复平面内所对应点Z1、Z2的距离为2√52√5＞4，
由|z-z1|-|z-z2|=4，可得Z的轨迹为以z1，z2为焦点，实半轴为a=2，半焦距为c=√5√5的双曲线的右支，
而z1+z22z1+z22=−1+i+3−i2=1−1+i+3−i2=1，且（1，0）在直线Z1Z2上，
∴|z-z1+z22z1+z22|的最小值等于（-1，1）与（1，0）的距离减去（c-a），
即√（−1−1）2+（1−0）2−（√5−2）√（−1−1）2+（1−0）2−（√5−2）=2．
故答案为：2．
点评 本题考查复数模的求法，考查圆锥曲线的定义和性质，考查数学转化思想方法，属中档题．
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