题目内容

19.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}$.
(1)若cos(2φ-$\frac{π}{3}$)+2sin(φ-$\frac{π}{4}$)sin(φ+$\frac{π}{4}$)=$\frac{1}{2}$,求φ的值;
(2)在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于$\frac{π}{2}$,求函数f(x)的单调递增区间.

分析 (1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(2φ-$\frac{π}{6}$)=$\frac{1}{2}$,结合范围|φ|<$\frac{π}{2}$,即可解得φ的值;
(2)由周期公式可求ω,求得函数解析式,根据正弦函数的单调递增区间为[2kπ-$\frac{π}{2}$,2kπ+$\frac{π}{2}$],k∈Z,列出关于x的不等式,求出不等式的解集即可得到f(x)的单调递增区间;

解答 解:(1)∵cos(2φ-$\frac{π}{3}$)+2sin(φ-$\frac{π}{4}$)sin(φ+$\frac{π}{4}$)=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{1}{2}$cos2φ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2φ+2×$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×$(sinφ-cosφ)×(sinφ+cosφ)=$\frac{1}{2}$,
∴整理可得:$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2φ-$\frac{1}{2}$cos2φ=sin(2φ-$\frac{π}{6}$)=$\frac{1}{2}$.
∴解得:2φ-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$,2φ-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$,k∈Z,
∵|φ|<$\frac{π}{2}$.
∴解得:φ=$\frac{π}{6}$.
(2)∵φ=$\frac{π}{6}$,函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于$\frac{π}{2}$,即:T=2×$\frac{π}{2}$=$π=\frac{2π}{ω}$,解得:ω=2,
∴f(x)=sin(2x+$\frac{π}{6}$),
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,解得:kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$,k∈Z,
则f(x)的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$,kπ+$\frac{2π}{3}$],k∈Z;

点评 此题考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,二倍角的余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,正弦函数的定义域与值域,以及正弦函数的单调性,熟练掌握公式是解本题的关键.

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