Question

1．已知命题P：“集合A={x|ax²+ax-3=0，x∈R}为空集”；命题Q：“函数f（x）=（1-a）^x是R上的减函数”．若命题P和Q中至少有一个是真命题，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出命题的等价条件，结合命题P和Q中至少有一个是真命题，建立条件关系即可．

解答 解：若a=0，则-3=0，无解，此时A=∅，
若a≠0，若A=∅，则判别式△=a²+12a＜0，解得-12＜a＜0，
综上-12＜a≤0，即P：（-12，0]，
若函数f（x）=（1-a）^x是R上的减函数”．则0＜1-a＜1，解得0＜a＜1，即Q：0＜a＜1，
若P，Q都为假命题，则$\left\{\begin{array}{l}{a≥0或a≤-12}\\{a≥1或a≤0}\end{array}\right.$，解得a≥1或a=0或a≤-12，
若命题P和Q中至少有一个是真命题，则-12＜a＜1且a≠0，
即实数a的取值范围是-12＜a＜1且a≠0．

点评 本题主要考查四种命题的关系，求出命题的等价条件，先求出P，Q都为假命题的取值范围是解决本题的关键．