Question

对定义在区间D上的函数f（x），若存在常数k＞0，使对任意的x∈D，都有f（x+k）＞f（x）成立，则称f（x）为区间D上的“k阶增函数”．
（1）若f（x）=x²为区间[-1，+∞）上的“k阶增函数”，则k的取值范围是______．
（2）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0，f（x）=|x-a²|-a²．若f（x）为R上的“4阶增函数”，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

（1）根据题意，f（x+k）＞f（x）恒成立，且f（x）=x²为区间[-1，+∞）上的“k阶增函数”，
所以有（x+k）²＞x²得2x+k＞0，即k＞-2x恒成立，因为x∈[-1，+∞），
所以，k＞（-2x）_max=2所以，（2，+∞）．
（2）因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，
则当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-|x+a²|+a²
所以函数的最大零点为2a²，最小零点为-2a²，函数y=f（x+4）的最大零点为2a²-4，
因为f（x）=|x-a²|-a²．若f（x）为R上的“4阶增函数”，
所以对任意x∈R恒成立，
即函数y=f（x+4）图象在函数y=f（x）的图象的上方，
即有2a²-4＜-2a²，
所以a取值范围为（-1，1）．