题目内容

设函数f（x）=x+
p
x
（p＞0）．
（1）若P=4，判断f（x）在区间（0，2）的单调性，并加以证明；
（2）若f（x）在区间（0，2）上为单调减函数，求实数P的取值范围；
（3）若p=8，方程f（x）=3a-264在x∈（0，2）内有实数根，求实数a的取值范围．
（1）由p=4知，f（x）=x+
4
x
，f（x）在（0 2）内是减函数．
证明：任意设 0＜x1＜x2＜2，
由于f（x1）-f（x2）=（x1+
4
x1
）-（x2+
4
x2
）=-（x2-x1）+
4(x2-x1)
x1•x2

=（x2-x1）（
4
x1•x2
-1）=（x2-x1）•
4-x1•x2
x1•x2
．
由题设可得 （x2-x1）＞0，0＜x1•x2＜4，∴
4-x1•x2
x1•x2
＞0，
故f（x1）-f（x2）＞0，即 f（x1）＞f（x2），故f（x）在（0 2）内是减函数．
（2）若f（x）在区间（0，2）上为单调减函数，任意设 0＜x1＜x2＜2，
则可得f（x1）-f（x2）=（x2-x1）•
p-x1•x2
x1•x2
＞0．
由题设可得 （x2-x1）＞0，0＜x1•x2＜4，∴p≥4．
（3）由p=8，可得f（x）=x+
8
x
，
由（2）可知f（x）在（0，2）上单调递减，∴f（x）＞f（2）=2+
8
2
=6，即 f（x）＞6．
故由方程f（x）=3a-264在x∈（0，2）内有实数根，可得3a-264＞6，解得a＞90，故a的范围为（90，+∞）．
练习册系列答案
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函数f（x）的导函数y=f/（x）的图象如下图，则函数f（x）的单调递增区间为 ______．
某商品在近100天内，商品的单价f（t）（元）与时间t（天）的函数关系式如下：f(t)=
at+b，0≤t≤40，t∈Z
32，40＜t≤100，t∈Z.
已知第20天时，该商品的单价为27元，40天时，该商品的单价为32元．
（1）求出实数a，b的值：
（2）已知该种商品的销售量与时间t（天）的函数关系式为g(t)=-
1
3
t+
112
3
(0≤t≤100，t∈Z)．求这种商品在这100天内哪一天的销售额y最高？最高为多少（精确到1元）？
已知函数f(x)=x-
1
x
（x＞0）；
（Ⅰ）试判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明；
（Ⅱ）设m∈R，试比较f（-m2+2m+3）与f（|m|+5）的大小．
已知函数f（x）=
(a-3)x+5(x≤1)
2a
x
(x＞1)
是R上的减函数，则a的取值范围是______．
对a，b∈R，记max{a，b}=
a(a＜b)
b(a≥b)
，函数f（x）=max{|x+1|，|x-1|}（x∈R）的最小值是______．
已知函数f（x）=
ex+m
ex+1
，若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一个三角形的边长，则实数m的取值范围是（　　）
A．[
1
2
，1]		B．[0，1]C．[1，2]D．[
1
2
，2]
对定义在区间D上的函数f（x），若存在常数k＞0，使对任意的x∈D，都有f（x+k）＞f（x）成立，则称f（x）为区间D上的“k阶增函数”．
（1）若f（x）=x2为区间[-1，+∞）上的“k阶增函数”，则k的取值范围是______．
（2）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0，f（x）=|x-a2|-a2．若f（x）为R上的“4阶增函数”，则实数a的取值范围是______．
已知函数f（x）=
x+3
-
1
x+2
，那么函数值f（-3）等于（　　）
A．0B．1C．2D．3

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